メルカトル図法はなぜ等角航路が直線で表せるのか？
標準子午線と赤道を基準として、経度を
メルカトル図法は何故考案されたか
大航海時代の船乗りは船上で、方位磁針、太陽高度、
※等角航路…地球上の1地点と他の地点を結ぶ際に、
正角図法とは
地球上の任意の方向角が地図上の任意の地点で、
メルカトル図法について
オランダの地理学者メルカトル（1512～1594）が1569
（↑田代大先生のページより。）
（↑出展 Wikipedia 。この後使うのも全部元はWikipedia。）
なぜメルカトル図法では等角航路が直線になるのか
メルカトル図法は、円筒に投影しているため、
と、文章であらわしてみたのだが、
舵角が常に等しい理由としては、授業でやった通り
Aは横に拡大された、Bは縦に拡大された、Cは横にも縦にも同じ倍率だけ拡大した三角形で、メルカトル図法は地球儀上の図を基本としたときにCにあたる、
緯線方向の拡大率=経線方向の拡大率
となることから、角度が変わらないからである。
これについて考えてみようと思う。
こうなるとメルカトル図法では使われていないことになるので、直線でないとは言えない。
湾曲以外の線もいくつか考えられるので、そのうちの一つを図に書いてみようと思う。
よって他の場合も考えてみることにする。
(直線にならない線は無限に書くことができるが、以下に挙げるのはそれを象徴するようなもので、それについて説明することで同じような線は同様に処理することとする。)
しかし、間に経線をもう1本いれてみると分かるように、
よってこの線も正しくない。またこの線の類のジグザグのような線も正しくない。
以上より、不規則な線ではないことから直線であることが分かる。
-感想-
まず、大分稚拙な文章と図になってしまったのは、自分の語彙力と技術のなさなので申し訳ないです。
今回はメルカトル図法の等角航路が直線になる理由、ということでやる前はどこから手をつけたらいいのかといろいろ迷いましたが結局これしか十分に自分の言葉で説明できそうになかったのでこのような説明となりました。
内容についてですが、どこのサイトもみつからずに結局自力でやったので全く自信がありません。しかし、自分で考えたぶんはやはり深く考えることがあって、色々プリント を見直したり、インターネットを利用してメルカトル図法の知識を深めたりして、メルカトル図法についてはよく学習できる機会になったと思います。
次回からはもう少しうまくまとめて説明できるようにしたいと思います。
教科書を見ると、「罫線が平行な正角である図法だから」とあるが、これだけではわかりにくいので図を簡単に起こして説明しようと思う。
まず、等角航路とは「経線に対する角度を一定にして進む航路」を指すことを確認しておく。そうすると、次のようなことが考えられる(当然のことではあるが)。
①航路中であればどの地点でも同じ角度を向いて船は進む。
②地球は球体であるから、地点が少しずれるたびに"まっすぐ進んでいると"方位磁石は少しずつ回転する。
これを考えると次のような図を描ける(手書きをスキャナした)。
まず等角航路とは何か、というところから入ってみる。等角航路とは、地球上の二点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度が常に一定となるものをいう。
次にメルカトル図法の特徴をいうと、①緯線、経線が直行し、かつどの経線どうし、緯線どうしも平行である、という点である。（図１）
平行線の同位角は等しい、という法則がある。つまりメルカトル図法に任意の直線を取った場合、その直線と経線の織り成す角度はすべて等しいということがいえる。前後を入れ替えれば、メルカトル図法において経線と織り成す角度がすべて等しいような線（つまり等角航路）をとった場合、その線は直線になる、ということになるだろう。しかし実はこれではメルカトル図法において等角航路が直線になる、ということの（これを正角性というようである）完全な証明になっていない。なぜなら、これでは正角性をもたない心射円筒図法やペータース図法についても、正角性がなりたつという説明になってしまう。①の特徴をもつ地図はメルカトル図法だけではないのだ。
それではこの説明の不備はどこにあるのか。それは、この説明は地球という球体上について述べているのではなく、球体を平面に投影した状態の地球について述べているところである。どういうことかというと、上の説明は、あくまでも地図上で表現される経線と織り成す角度がすべて等しいような線は、地図上において直線であるということを述べているだけなのである。ここではメルカトル図法とペータース図法を例にとって見る。（図２、図３）これはかなり簡略化した図である。
図３ ペータース図法 図２ メルカトル図法
上の二つの図では、同じ場所の二つの点（黒点、白点）を通り、かつ経線に等角で交わっている線が引かれているが、二つの線の通っている地点が違っている。しかし、同じ地点を出発し、同じ地点でゴールする等角航路であれば通る地点も同じはずである。つまり、図３で描かれているペータース図法の直線は等角航路ではない。これは何を意味しているのかというと、地図上の角度が、球体上に戻したときも同じ角度であるとは限らないということだ。ペータース図法の地図上ではどれも同じ角度に見えても、球体に戻すと、角度が皆ばらばらになってしまう。等角航路で問題にしている角は球体上の角度なので、これでは意味がない。その中でも、特殊に球体上、平面上どちらでも同じ角度であるのがメルカトル図法というわけ� ��。
あとはメルカトル図法の地図上で表現された経線と織り成す直線の角度を、球体上に直したときも同じ角度になることを説明すればよい。
地球をみかんとして考えてみる。みかんを平面に直すとき、ふつうはどのようにするだろうか。なに、だれでも行う動作である。皮をむくのだ。皮をむくと、こうなる。ええい。（図４）
ただこれでは不恰好だし、大変見にくい。地図として成り立つかどうかさえ際どい。なので、図にあるように、横に引き伸ばす。こうすれば長方形の地図になる。しかしこれでは正角図法ではない。
図５を見てほしい。
このように、メルカトル図法を３段階に分けて考える。上の三角形は、地球という球体上にある極々小さい三角形を拡大した図である。左下の角度に注目する。
①これが原型だ。球面上の状態である。②みかん的な展開をしたあと、横に伸ばす。この場合２倍になっている。左下の角度を見ると、角度が変化している。球体上での角度と平面上での角度が一致しない。これでは正角性にならない。③横に二倍になったので、縦にも二倍することで原型との相似形をつくり、角度を等しくする。
これがメルカトル図法のからくりである。（メルカトル図法：縦の拡大率＝横の拡大率）
ドイツを得るためにどのくらい時間がかかります
以上で、メルカトル図法では球体上の角度が平面上でも保たれることが分かり、さらに、任意の直線をとった場合その直線と経線の織り成す角度がすべて等しいということが分かったので、メルカトル図法において等角航路が直線になることが説明された。<
メルカトル図法は地球上での角度と地図上での角度を等しく表した正角図法のひとつである。地球は球体であるから、極に近づくほど経線の幅は狭くなっている。しかし、それを地図という平面で世界全体を表すために、メルカトル図法では経線同士の間隔が等しくなるようにしている。そうすると、高緯度ほど間隔が実際よりも広げられるため、同じ比率で緯線同士の間隔も広げている。
その結果、経線と緯線はそれぞれ平行で経線と緯線が直行するように引かれるため、角度を平面上に正しく表すことができている。一方、極に近づくほど面積と距離が拡大されてているため、面積は正しくないが形は地球上での実際の形と相似であるためある２地点を結んだときの角度は変わらないのである。
上記より、メルカトル図法では等角航路を直線で表すことができるのである。
| この図では面積の比率が示されている。同じ大きさの円の部分は同じ比率で大きくなっている。 | |
| これがメルカトル図法の地図上での等角航路と大圏航路（最短コース）である。等角航路は最短コースではないが、地図上で航路が直線で引けるため、当時羅針盤をつかっていた人々にとっては大変便利だった。 | |
| このような形の横メルカトル図法というものも考案されている。この図法では任意の緯線で地球儀に接するようにしたため、経線を等長線にでき、南北に長い地域の小縮尺地図に適している。 |
意味はよく理解できませんし説明もできませんが、数学的な見方での地図の投影法の式を見つけたので一応付け足しておきます。きっと解る人には解るでしょう。
投影法の表式
以上で終わりです。
1.メルカトル図法とは
・ 図のように正角円筒法で作られた航海用の地図。
・ 緯線をすべて赤道と同じ長さにしているので実際には赤線より短い青線が赤線と同じ長さとして表される。
・ 極は表すことができない。
前頁の図では、すべての縦線同士、横線同士は全て平行で縦線と横線は全て垂直に交わっている
AからBに行くためには上方向に対しての角度を一定に保てばよい。すなわち、行く方角と縦線(横線でも可)がなす角度がいつも一致するように進めばよい。
＊地球儀上では緯線と経線はすべて垂直に交わっている。メルカトル図法も緯線と経線は交わるように作成してあるので、メルカトル図法で進む方角と緯線、もしくは経線とがなす角度を常に一定に保てば地球上でも正しい方角に進んでいると言える。ただし、これは地球上での最短距離を表しているわけではない。
3.等角航路と大圏航路
東京からロサンゼルスに行く場合を考える．なぜ東京とロサンゼルスを選んだかというと，東京は（Ｅ139°45′Ｎ35°41′）で，ロサンゼルスは（Ｗ118°24' Ｎ33°56 ）と，緯度の差がほとんどなく，説明しやすいからである．
'下の地図は，青線が東京からロサンゼルスまでの等角航路，茶線が東京からロサンゼルスまでのおよその大圏航路である．
メルカトル図法が考案された理由
外国との交通の主役が船だったころは、メルカトル図法は重宝されてきた。それは、大航海時代の時点では、目的地に着くための手がかりとしては、方位磁針、太陽高度、星ぐらいしかなかった。それらから得られる情報だけを頼りに目的地に着くのはなかなか難しかった。そこで、方位磁針のＮ極と、船の作る角度を一定にしておけば目的地に着く航路である等角航路、それを地図上で簡単に表せる地図が欲しかった。そのために生まれたのが正角図法のメルカトル図法である。（出発地と目的地の２点間に、メルカトル図法の地図に線を引き、 タテの経度線との角度と、コンパスの示す角度を合わせながら航海すればよい）
貿易風に乗っての航海でも、赤道付近ですることが多いので、メルカトル図法でもそこまで支障はなかった。（最短距離でもないが、赤道よりのほうが、都合のよい風があるなど）
ちなみに飛行機は、大圏コースで北極寄りの最短距離を飛ぶようになるので、現在は、他の図法が使われている。
正角図法とは
地球上の角の大きさが地図上に正しく表現されている図法の総称。天気図の図法や航海・航空関係の図法として用いられる。どのように作るかというと、地球上と地図上のそれぞれの形が相似になるようにすればよい。用例として、メルカトル図法、平射図法(ステレオ図法)、ランベルト正角円錐図法などがある。
メルカトル図法について
オランダの地理学者メルカトル（1512～1594）が1569年頃創案。
（田代注・メルカトルは現在のベルギーの人。オランダとするのは間違い）下にある図は、そのメルカトルが１５６９年に作成した地図である。
また、次の図は、メルカトル図法がどれだけ面積の面においてテキトーであるかを示している。
この赤い丸は、それぞれ同じ面積を表している。つまり極に近いところは実際よりこんなに拡大されているわけだ。正積図法ならば、すべての丸は同じ大きさになるはずである。
メルカトル図法の原理
なぜメルカトル図法では等角航路が直線になるのか
メルカトル図法は、円筒に投影しているため、経線が平行になっており、また、等角航路とは、地球上の1地点と他の地点を結ぶ際に、常に経線と一定の角度で交わるコースのことである。無限に細かい大量の平行線と任意の2点があり、任意の2点を直線で結んでみると、同位角により、どこも角度が等しくなる。（直線が等角）
参考 １ ２ ３ （表現変更・田代）
メルカトル図法は、円筒に投影しているため、経線が平行になっている。等角航路とは、地球上の1地点と他の地点を結ぶ際に、常に経線と一定の角度で交わるコースのことである。無限に細かい大量の平行線と任意の2点があり、任意の2点を直線で結んでみると、同位角により、どこも角度が等しくなる。これぞ等角航路、である。
(メルカトルはオランダの人ではありません。田代注）
等角航路とは
ある２つの地点を船舶で航行したいとき、正角図法を用いて２つの地点を結んだ直線と、経線とでできる角度の方向に常に保ったまま航行すると、目的地典に到着できる航路のこと。（図１）
ナポレオンは何をした
逆に、地理的要因（海流や山脈、気流など）を無視し、最短距離で結ばれた航路を大圏航路と呼ぶ。こちらは気候に左右されなければ、航空機に向いている。
等角航路が直線で表される理由と注意
まずメルカトル図法に代表される正角図法は、その名の通り地図上における角度が等しい。つまり、地球上の角度が、地図上に正しく反映されているということである。すると、先ほどの図を用いて説明すると、A地点から目的地のB地点の方向に、羅針盤とメルカトル図法によって描かれた地図を用いて船の舳先を向け続けながら航行すれば、目的地に着くのである。
証明としては、まずメルカトル図法において経線は全て平行。常に同じ角度を保ち続けるとB地点にたどり着くならば、航行した跡（線）と経線によってできる角度は常に等しい。よって平行線（経線）を通り、同位角を作る直線だとわかる。
しかし、この等角航路はメルカトル図法においては最短距離を示すが、実際の最短距離は大圏航路となる。なぜなら地球は球体であり、球での線を平面に直す過程において、メルカトル図法では緯線と経線以外の線はひずみによって曲線となるからである。
メルカトル図法は、等角図法（経線からの角度が正しい図法）の一種である。
また等角航路とは、地球上の2点間を結ぶ航路のうち、蛇角（進行方向が経線となす角度）が常に一定となるもののことを指す。
この二つの定義さえ頭に入っていれば、難しい理論や証明なしでも、メルカトル図法で等角航路が直線になることはすぐに理解できる。
１上の二つの図を見比べてみる。
図2のように航路が歪曲し、各々の角度の大きさがバラバラになってしまっては、メルカトル図法で且つ等角航路であることの定義に矛盾してしまうのだ。
逆に単純に言ってしまえば、上の二つの定義を両方満たす図を描こうとすると、1のような図になるのだろう。
～感想～
ネットで調べてみたのだが、唯一見つかったページの解説は、微分積分にZ座標まで用いたものだった。（数学の先生が書いてるサイトだったらしい。）
自分で考えてみたのだが、まるで立体的には考えられなかった・・・。とりあえず書いてはみたものの、こんなアバウトな上に決めつけた文章がレポートになっているのか、至極不安だ。
まず、等角航路とは、「地球上の２点間を結ぶ航路のうち、進行方向 が経線となす角度（舵角）が常に一定になるもの」である。
また、メルカトル図法は、緯線と経線が直線であり、それぞれ直角に交わっている。よって、舵角が等しくなるように点を取っていくと、それらの点は直線となる。また、メルカトル図法上で直線を引くと、その線上では、どこも舵角が等しい。
これらのことから、メルカトル図法では等角航路は直線で表せる。
「メルカトル図法において等角航路が直線になるのは何故か」
まず、メルカトル図法で引かれた等角航路は実際の地球儀でどのような線になるのか。図1におけるA地点からB地点までの等角航路はおよそ図2のようになった。
図2は地球儀を真横から見た図であるが、等角航路は直線になってはいない。等角航路は実際には直線になっているわけではないのである。（赤道上、経線上はその限りではないが。）
メルカトル図法は角度を正しく表すために経線と緯線が直角に交わる。そして経線同士が平行に並ぶ。等角航路は経線に対する角度が一定の線であるから、メルカトル図法において二点A、Bを結ぶ直線は「一組の平行な直線と一本の直線が交わるとき、平行な線のそれぞれと直線によってつくられる角は同位角」になり、「線分AB ＝等角航路」となるのだ。
| 図３では地球儀の中心から北緯３０度、北緯６０度の地点に光をあて、それを赤道と接する地図に投影している。（メルカトルの地図投影法）このとき地図にあらわれる様子だが、北緯６０度の緯線の長さは赤道の1/2だが、メルカトル図法の地図では緯線は同じ長さで表されるので、実際の長さよりも２倍長く書かれていることになる。さらにそれに合わせて、赤道～北緯３０度と北緯３０度～６０度では弧の長さが同じなのに、地図上ではAB間よりBC間の方が２倍長くなっている。 | |
| 図３ |
| このように、メルカトル図法では、東西方向にも南北方向にも実際よりも長く表される部分があり、長くなる割合は、高緯度にいくほど大きくなる。 さて、今、地球儀の上に大きな正方形の紙が置いてあったとする。その紙をメルカトル図法の地図に書き換えると図４のようになる。 | |
| その正方形に初めの等角航路ABを書き入れると・・・。 | |
| このように、角度を正しくするためにできた歪みによって、正方形の上のほうはどんどん長くなり、その変形の割合が、曲線だった等角航路をちょうど直線に変えるものになっているのである。 以上のようにして、メルカトル図法では等角航路が直線で描かれている。 |
メルカトル図法では経線が平行直線で表されるので
２地点間を直線で結ぶと同位角の関係でこの直線は等角航路を示す
故にメルカトル図法では等角航路が直線となる。
メルカトル図法は、赤道で地球に接する円筒面に地図を投影することにより得られる。
全ての緯線は赤道と同じ長さになっており、それに合わせて経線も拡大されている。縦にも横にも拡大するので角は変わらない。だからメルカトル図法は、正角図法である。
この図法の特長は、経度と緯度を格子状に配置させ、緯線と経線の比率を一定に保っていることである。
縦は経線、横は緯線とする。
上で書いたことから経線は全て平行であるということがわかる。
その結果、目的地Ａと目的地Ｂとを結んだ線と経線によりできる角は、同位角で全て等しいということになる。
だから、進行方向が経線となす角度が常に一定になる。
よってメルカトル図法では等角航路が直線になる。
参考：
ウィキペディア
田代先生のプリント
１,メルカトル図法の地図について
メ ルカトル図法は、オランダのメルカトルが1569年に発表した地図で、コンパスで正しく目的地に到達できるように作られた初めての投影法である。円筒図法 をベースにして、緯線間隔を緯線の拡大率に合わせて徐々に広げたものである。経線は等間隔で、緯線はそれに直交するが緯度が高くなるほど広がり、緯度６０ 度では、赤道の2倍にされている。そのため、長さや面積は高緯度ほど過大になるが、目的地まで常に同じ角度で進めるため航海には適しており、海図は基本的にこの図法で作成されている。（図１参照）
２,等角航路が直線になる理由
図2に示す実際の地球上のA地点（出発点）とB地点（到着目標地点）を結んで、航程線（等角航路）を描いたとき、進行方向の経線と航路の角度が常に一定となる。これを図3のメルカトル図法の地図上におきかえたとき、メルカトル図法の経線は常に等しい間隔で平行になっているので、航程線（等角航路）の角度は常に一定となり、二点は直線で結ばれる。
よって、メルカトル図法では等角航路が直線になる。
参考資料
（筑波大学大学院修士課程教育研究科 授業資料）
（帝国書院 資料）
地球儀上に大圏航路と等角航路をひく
それは何本に挑戦する意味ですか？
課題に対する考えが全く思い浮かばなかったので、実際にやってみることにした。
[使用したもの]
・ 地球の絵柄のビーチボール
・ 糸(大圏航路：赤，等角航路：黒)
・ セロハンテープ
・ 円から45°切り取ったもの…ａ(右図参照)
[方法]
◎ まず、等角航路をひいた
１． 糸の端をセロハンテープで東京にとめる
２． ａの中心を東京に、青線を東京を通る緯線に合わせる
３． 点まで糸をのばし、セロハンテープでとめる
４． ３の点にａの中心、青線をその点を通る緯線に合わせる
５． 点まで糸をのばし、セロハンテープでとめる
６． ４と５をくり返し、マッケンジー川河口についたところで、作業を終えた
◎ 次に大圏航路をひいた
１． 糸の端をセロハンテープで東京にとめる
２． 糸を張った状態で、マッケンジー川河口までのばし、セロハンテープでとめる
メルカトル地図上の大圏航路と等角航路
地球ボール上の大圏航路と等角航路
課題について
メルカトル図法において、経線と緯線の拡大倍率は同じである。このためａは、地球ボール上でもメルカトル上でも、大きさが変わることはあるものの、円が楕円になる等の形の変形はおこらず、常にａの形が保たれる。
青線を緯線にあてたとき、青線と点がメルカトルでなす角は、常に45°(緯線が全て平行になっているため)。これは、㋐の角度が45°でなくても、平行線に同じ角度で線分をひいていくので(同位角)、直線になる。
メルカトル図法は何故考案されたか
大航海時代の船乗りは船上で、方位磁針、太陽高度、星しか頼れるものがなかった。それらから得られる情報だけを頼りに目的地に着きたかった。方位磁針のＮ極と、船の作る角度を一定にしておけば目的地に着く航路、それが等角航路である。それを地図上で簡単に表せる地図が欲しかった。そのニーズに応えるために生まれたのが正角図法のメルカトル図法である。
※等角航路…地球上の1地点と他の地点を結ぶ際に、常に経線と一定の角度で交わるコース。
正角図法とは
地球上の任意の方向角が地図上の任意の地点で、いつも正しく表される地図投影法。地図上の任意の場所の周りの狭い範囲内で、地球上と地図上のそれぞれの形が相似のなるように作ることで角度が正しい地図ができる。メルカトル図法、平射図法(ステレオ図法)、ランベルト正角円錐図法などがある。
メルカトル図法について
オランダの地理学者メルカトル（1512～1594）が1569年頃創案。赤道に沿って、地球に接する円筒面上に地図を投影したもの。経線と緯線は互いに直交する直線となる。高緯度になるに従って東西の長さが伸びるので、それと同じ割合で南北方向にも伸ばす。それにより相似となり、正角性を持つ地図となる。そしてこの図法では等角航路は直線で表わされる。
（メルカトルをオランダとするのは間違い・田代注）
| 作成者：ニジックス地図デザイン研究所 |
| 緯線は１０度間隔です。北緯、南緯とも８９．９５度まで表示してあります。北極付近は陸地（島）がないのでピンとこないかもしれませんが、南極大陸の大きさに注目して下さい。高緯度地方が拡大されるということがよくわかるでしょう。 作成し、かつ掲載を許可して下さったニジックス地図デザイン研究所に御礼申し上げます。 |
なぜメルカトル図法では等角航路が直線になるのか
メルカトル図法は、円筒に投影しているため、経線が平行になっている。等角航路とは、地球上の1地点と他の地点を結ぶ際に、常に経線と一定の角度で交わるコースのことである。無限に細かい大量の平行線と任意の2点があり、任意の2点を直線で結んでみると、同位角により、どこも角度が等しくなる。これぞ等角航路、である。
これを地球儀上で描くと、添付した図のようになる。
しかし、これを地図上に表すと、
ここで、話題にしている経線だけについて考えると、
(添付した図を参照）
すると、その線は角度が一定であるから、直線になる。
故に、メルカトル図法では等角航路が直線になるのであると思う。
以上です。
メルカトル図法
この図法は、経度と緯度を格子状に配置させ、緯線と経線の比率を一定に保ったもの（つまり任意の地点で角度が保存される）で、「地球を円筒に投射し、それを書き写したものを長方形に広げ、縦方向に必要に応じて局所的な拡大を加えたもの」と言える。そのため「正角円筒図法」と呼ばれる。
◎メルカトル図法とは
メルカトル図法は、ゲレルドゥス・メルカトルがオランダで発表した地図に使われた地図投影法。円筒図法のひとつでその正角性から正角円筒図法ともいう。（オランダは間違い。かつてのウィキペディアのミス。田代注）
特徴としては、緯度と経度を格子状に配置させ、緯線と経線の比率を一定に保ったもので、「地球を円筒に投射し、それを書き写したものを長方形に広げ、縦方向に必要に応じて局所的な拡大を加えたもの」と言える。
１枚の長方形の中に世界全図を書き込むことができ、経度からの角度が正しい等角図法であるため、海図・航路用地図としてよく使われる。
ここで、何故等角航路が直線になるのかを考える。
◎感想
今回地図の上ではかなり身近といえるメルカトル図法が、何故等角航路は直線になるのか、という根本的な問題を調べましたが、大変だったことはなかなか日本語のサイトでは今回の問題にヒットしなかったのです。
結局わかりやすかったのはドイツ語のページの図でした。自動翻訳機能などを使ってみたのですが、色々と難しい上に分かりにくかったので途中で音を上げました。無理ですドイツ語。
しかし実際に自分で図を作成したり、まとめたりしてみると、自分の中で直線になる原理をまとめられたので良かったです。それなりにしっかりまとまっていると思います。 大変でしたが、楽しい課題でした。
+参考文献+
独語のメルカトル図法についてのページ)
(Wikipedia)
⇒地球上の２点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度（舵角）が常に一定となるものをいう。航程線ともいう。
等角航路を用いると、（羅針盤で常に北の方角が分かっている場合）同じ角度で進めば目的地にたどり着ける、ということだ。
⇒元々、地図は地球の球面を紙の平面に投射することにより作られるが、
メルカトルは、地球に外接する円筒形の紙に地球の中心からの地表の各点を投射するという、正角円筒図法を用いたのである。1枚の長方形の中に世界全図を書き込む事ができ、経線からの角度が正しい等角図法であるため、海図・航路用地図としてよく使われる。
⇒図（*）を見れば分かるが、地球儀での実際の等角航路は、メルカトル図法であらわすと直線になる。等角航路と経線とが成す角が、本当に一定なのがよく分かるだろう。（この地球儀の真ん中にライトがあり、その光を周りの紙に反射させる、と想像してほしい）
それを、平面（メルカトル図法）におこしてみる……
メルカトル図法は、経線と緯線が直線で表わされ、（実際の地球と同じように）直交する図法である。よって、等角航路をメルカトル図法で表現すると、何本かの平行な経線と同じ角で交わり続ける―つまり、同位角同士をとっていくことになるので、その線は直線になる。
メルカトル図法では等角航路が直線になるのはなぜか。まず、等角航路とは地球上の2点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となすか角度が常に一定となるものをいう(ウィキペディアより引用)。
つまり、等角航路が直線になるときは経線がすべて平行でかき表されてなければいけない。ということは、この質問はなぜメルカトル図法では経線がすべて平行なのかという質問と同じだ。
| メルカトル図法とは地球儀に図1のように円筒状に紙を巻き、地球儀の中心から明かりを照らし、紙に写った地形をかきうつした図法である。 これを平面で見てみると、図２のようになる。中心から光を照らすので、曲がっている経線は平面上では直線になる。これはすべての経線に当てはまることなので、経線は直線になるのである。 | ||
| 図２ | 図１ |
大航海時代…
メルカトルは大洋でも、コンパスだけで航海できないものだろうかと考えた。地図の上に目的地までの直線を引き、その角度に船の進行方向を常に合わせるだけですむように地図を描くことができれば、遭難も減るだろう。しかしそれは、円錐図法でも、半球形の図法でも、楕円形の図法でも不可能だった。結局メルカトルが導き出した方法は、円筒図法をベースにして、緯線間隔を緯線の拡大率に合わせて徐々に広げていくことでした。メルカトルの地図に引かれた直線は航程線といわれ、地球儀上では直線でも最短距離（大圏コース）でもない。1569年この画期的な投影法を用いた世界図は"航海者に最適の新世界地図"と題され、遠洋航海の安全を目的としていました。メルカトル図法は、特定の目的のために作られた最初の投影法であるといってもよいだろう。
メルカトル図法
地球儀と変わらないように、経線を延ばした分だけ緯線を延ばし、相似にしているので、地図上の２点を結ぶ直線が北に対して等しい角度となっている。
→メルカトル図法では等角航路が直線になる！！
メルカトル図法は、正角円筒図法ともいう。
円筒図法とは、円筒型のスクリーンを地球儀に被せ、地表の形を投影した後、切り開いて平面にした図法、およびその考え方を応用して考案された図法のことを指す。
〔図１：心射円筒図法でのメルカトル図法作成原理〕
円筒と赤道が接し、地球儀の中心から光をあてるため、赤道は地球儀と同じ長さになり、その他のすべての緯線も赤道と同じ長さで、平行に表現される。そして、緯線方向の拡大率に合わせて経線も延ばす。
この緯線方向の拡大率と経線方向の拡大率が等しいので、地球儀上の任意の線により作られる角が地図上でも等しくなる。これを正角という。
等角航路とは、地球上の２点間を結ぶ航路のうち、経線に対する角度を常に一定にして進むことのできるものをいう。
磁石の針の指す方向を変えないで進むことができ、大航海時代に広く利用された。
この等角航路を地球儀上で表そうとすると次のようになる。
[図２：地球儀で等角航路を表そうとしている図]
図２は、経度２０度ごとに経線が直交する大円で、東京から東に向かって移動を続けていることを想定したものである。
この図を見れば想像できると思うが、もっと経線の間隔を狭くしていくと、緯線と平行な直線が出来る。
緯線と平行で、経線とも直交であるから、経線とのなす角が常に一定であるということである。（＝等角航路）
よって、地球儀上では等角航路は直線で表されることがわかる。
さて、地球儀上では等角航路は直線で表されることがわかったが、メルカトル図法ではなぜ等角航路は直線になるのか。
これは、上で述べたメルカトル図法のもつ「正角」という特徴より、地球儀上の任意の線によりつくられる角が地図上でも等しくなるから、図２の場合は緯線と経線が常に直角に交わっている直線が等角航路として表されるからである。
したがって、地球儀上で常に一定の角度で経線と交わる直線で表される等角航路は、「正角」であるメルカトル図法の地図上でも、直線で表されるのである。
図２：
n.fc2.com/h/i/w/hiwatt/DSCN0167.jpgt/DSCN0166.jpgより引用
メルカトル図法は緯線の拡大率と経線の拡大率が等しいので、メルカトル図法にする前とメルカトル図法にした後の経線どうしと緯線どうしの比が１：２になるときを例にして説明する。
出発地点A、目的地点をBとして点Aと点Bを直線で結ぶ。直線ACの中点Dから直線ABと平行な直線DEを書く（メルカトル図法は正角なので∠ABC＝∠DEC）
「メルカトル図法」はなぜ等角航路を、直線で表せるのか？」
A地点B地点まで行くとする。まず方位磁針で角度（北からの角度）をはかる。
そして、その角度X度を保ちながら、B地点まで進む。それを地図に表すとするとどうなるだろうか？
まず北を指し示す直線を経線で表す。そして、その経線からX度の直線を引っ張るとB地点まで到達する。
つまり、A地点からB地点まで方位磁針のN極を経線に合わせて滑らせると考える。そうすると、任意の地点でX度をはかり、それを結ぶと、直線になっているのである。
メルカトル図法は、方位磁針でいう北を常に表す経線があるからこそ等角航路を直線で表せるのである。
不明？ 誰でしょう。連絡して下さい。
メルカトル図法（-ずほう）は1569年、フランドル出身の地理学者ゲラルドゥス・メルカトル(Gerardus Mercator, 1512年～1594年)がオランダで発表した地図に使われた地図投影法。円筒図法のひとつでその正角性から正角円筒図法ともいう。1枚の長方形の中に世界全図を書き込む事ができ、経線からの角度が正しい等角図法であるため、海図・航路用地図としてよく使われる。
メルカトルのオリジナルというわけではなく、ドイツのエッラープが1511年に作成した地図にはすでに使われていた
この図法の特長は、経度と緯度を格子状に配置させ、緯線と経線の比率を一定に保ったもので、「地球を円筒に投射し、それを書き写したものを長方形に広げ、縦方向に必要に応じて局所的な拡大を加えたもの」と言える。そのため「正角円筒図法」と呼ばれる。
メルカトル図法の地図において、出発地と目的地との間に直線を引いて経線となす角度を測り、コンパスを見ながら常にその角度へ進むようにすれば必ず目的地に到着する。この性質を正角性という。このコースは航程線（等角航路）と呼ばれ、多くの場合実際の最短距離（大圏コース）から大きく外れるが、舵取りが容易であることから、羅針盤の発明された時代から広く利用されてきた。
赤い円は同じ面積を示す
メルカトル図法は、直線上の方向は正確だが、距離や面積に関しては不正確と言う欠点がある。極に近づくにつれ緯線の間隔が広くなる特徴を持ち、極近辺は無限遠となって記述すらできなくなるので、極の部分はカットされていることが多い。その欠点を改良して緯線の緯度による伸びを4/5になるようにしたのがミラー図法である。極付近の記述はできるようになったが、正角性は失われている。
横メルカトル図法
メルカトル図法が赤道付近は正確に記述できる性質を利用して、投射する円筒を倒し任意の緯線で地球に接するようにした図法が横メルカトル図法であり、小縮尺の地図で広く用いられている。ランベルトが考案した。南北に長い地域の小縮尺地図に適している。横軸法で投影しているため、経線を等長線にできるからだ。
中縮尺の地形図には、地球全体を経度6度ごとに分けて投影したユニバーサル横メルカトル図法（UTM図法）がよく使われる。大縮尺地形図や地理情報システムなど精度を重んじる場合には、地球を回転楕円体とした場合の考慮が行われる。この場合のメルカトル図法はガウス・クリューゲル図法とも呼ばれる。
地球儀上で経線に同じ角度で交わるように、曲線を引く。メルカトル図法になおした地図上で、直線になるようにその線を引く。すると、地球儀上で赤道と線が交わる角度をaとした時、平面状でも赤道と交わる角度はaになる。
メルカトル図法は緯線と経線ともに平行になっているので錯角により、経線と線が交わる角度は
みんな等しくなり、地球儀上でとった線と同じになる。
このことから、メルカトル図法では、等角航路が直線になる。
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